Лекция 4 | Введение в симплициальные множества | Василий Ионин
05.07.2024 - Вычисление гомотопического хома через пространство отображений - Лемма Йонеды и теорема Уайтхеда - Барицентрическое подразбиение и замена Кана - Флаг комплекса и нерв nd(X) - Компактные объекты в sSet - Покрытие симплициального комплекса звездами - Симплициальная аппроксимация - Достаточное условие существования - Гомотопность аппроксимации - Существование аппроксимации и гомотопический хом - Гомотопические группы сфер и раскраски В математике мы часто хотим научиться понимать что-то про ручные пространства, составленные из склеенных между собой понятных кусочков. О ручных пространствах удобно думать в свете комбинаторных моделей, которые их задают. Как только формализация понятия комбинаторной модели зафиксирована, появляется возможность оценить ее по следующим параметрам: 1) богатство (как много объектов и морфизмов может быть описано); 2) удобство (насколько просто могут быть закодированы инварианты); 3) раскованность (насколько хорошей получается данная категория). В ходе четырех лекций мы придем к понятию симплициального множества и оценим его с этой перспективы. Программа 1. Комбинаторные модели и предпучки. 2. Нерв и комплекс Виеториса. 3. Йога Йонеды и пространства отображений. 4. Описание (ко)пределов в sSet, канонический коконус. 5. Сопряженность нерва и реализация, конечная декартовость реализации. 6. Замена Кана Ex^n и барицентрическое подразбиение. 7. Теорема о симплициальной аппроксимации для полиэдров. 8. Гомотопические группы сфер и раскраски. Литература ▪️E. Riehl, «A leisurely introduction to simplicial sets», https://math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf, (2011) ▪️G. Friedman, «An elementary illustrated introduction to simplicial sets», https://arxiv.org/abs/0809.4221, (2023) ▪️Dmitri Pavlov, «Topology», https://dmitripavlov.org/notes/topology.pdf, (2019) ▪️Jie Wu, «Simplicial Objects and Homotopy Groups», https://imsarchives.nus.edu.sg/oldwww/Programs/braids/files/JieWuSimplicial.pdf, (2010) Пререквизиты Базовая теория категорий (функтор и естественное преобразование, пределы и копределы, понятие сопряженного функтора), базовая общая топология (дизъюнктное объединение и произведение, топология подпространства, факторпространство).
05.07.2024 - Вычисление гомотопического хома через пространство отображений - Лемма Йонеды и теорема Уайтхеда - Барицентрическое подразбиение и замена Кана - Флаг комплекса и нерв nd(X) - Компактные объекты в sSet - Покрытие симплициального комплекса звездами - Симплициальная аппроксимация - Достаточное условие существования - Гомотопность аппроксимации - Существование аппроксимации и гомотопический хом - Гомотопические группы сфер и раскраски В математике мы часто хотим научиться понимать что-то про ручные пространства, составленные из склеенных между собой понятных кусочков. О ручных пространствах удобно думать в свете комбинаторных моделей, которые их задают. Как только формализация понятия комбинаторной модели зафиксирована, появляется возможность оценить ее по следующим параметрам: 1) богатство (как много объектов и морфизмов может быть описано); 2) удобство (насколько просто могут быть закодированы инварианты); 3) раскованность (насколько хорошей получается данная категория). В ходе четырех лекций мы придем к понятию симплициального множества и оценим его с этой перспективы. Программа 1. Комбинаторные модели и предпучки. 2. Нерв и комплекс Виеториса. 3. Йога Йонеды и пространства отображений. 4. Описание (ко)пределов в sSet, канонический коконус. 5. Сопряженность нерва и реализация, конечная декартовость реализации. 6. Замена Кана Ex^n и барицентрическое подразбиение. 7. Теорема о симплициальной аппроксимации для полиэдров. 8. Гомотопические группы сфер и раскраски. Литература ▪️E. Riehl, «A leisurely introduction to simplicial sets», https://math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf, (2011) ▪️G. Friedman, «An elementary illustrated introduction to simplicial sets», https://arxiv.org/abs/0809.4221, (2023) ▪️Dmitri Pavlov, «Topology», https://dmitripavlov.org/notes/topology.pdf, (2019) ▪️Jie Wu, «Simplicial Objects and Homotopy Groups», https://imsarchives.nus.edu.sg/oldwww/Programs/braids/files/JieWuSimplicial.pdf, (2010) Пререквизиты Базовая теория категорий (функтор и естественное преобразование, пределы и копределы, понятие сопряженного функтора), базовая общая топология (дизъюнктное объединение и произведение, топология подпространства, факторпространство).