Лекция 3 | Гладкие многообразия и гомотопические группы сфер | Марина Прохорова

Важным алгебраическим инвариантом топологического пространства X является множество π_n(X) гомотопических классов непрерывных отображений n-мерной сферы S^n (два отображения считаются эквивалентными, если их можно непрерывно продеформировать одно в другое). Это множество обладает естественной структурой группы и называется n-ой гомотопической группой пространства X. Оказывается, что в случае, когда пространство X само является сферой, гомотопические группы тесно связаны с совсем другим разделом топологии: дифференциальной топологией, изучающей гладкие многообразия и их гладкие отображения. Я расскажу про конструкцию Л. С. Понтрягина, связывающую группу π_{n+k}(S^n) с k-мерными гладкими подмногообразиями в (n+k)-мерном векторном пространстве, снабжёнными дополнительной структурой. В середине прошлого века эта конструкция позволила вычислить π_{n+k}(S^n) для k≤3. Я расскажу про вычисления для k=0,1. Программа курса 1. Гомотопические группы топологического пространства. 2. Гладкие многообразия и гладкие отображения. Касательное и нормальное расслоения. 3. Оснащённые многообразия и их связь с гомотопическими группами сфер. 4. Гомотопическая классификация отображений n-мерных многообразий в n-мерную сферу. Степень отображения. 5. Гомотопическая классификация отображений (n +1)-мерной сферы в n-мерную сферу. Пререквизиты. Для понимания курса необходимо знакомство с следующими понятиями: топологические пространства и непрерывные отображения, n-мерное векторное пространство, дифференцируемые функции нескольких переменных. Курс основан на книге Л.С.Понтрягина «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий». Летняя школа «Современная математика», 2013